设$\mathcal{R}$是整环，$f(x),g(x)\in \mathcal{R}[x]$为正次数多项式，$\text{deg}(f)=d,\text{deg}(g)=e$，则

$\text{Res}(f,g)=0$当且仅当存在不为0的多项式$p(x),q(x)\in \mathcal{R}[x],\text{deg}(p)\lt e,\text{deg}(g)\lt d$，使得$fp+gq=0$。

进一步，如果$g$的最高次项系数$c_g^e$是整环里的可逆元，则设$g_1(x)=g/c_g^e$，显然$g_1(x)$是首一多项式，再令$f_1(x)=f/c_g^e$

此时$fp+gq=0$等价于$f_1p+g_1q=0$等价于$f_1p\equiv 0(\text{mod}\;g_1)$

设$\mathcal{R}_g[x]=\mathcal{R}[x](\text{mod}\;g_1)$，显然$R_g$是$\mathcal{R}$上秩等于$e$的有限生成自由模，则$f_1$诱导出$R_g$上的一个线性变换

因为有$p\neq 0(\text{mod}\;g_1),f_1p\equiv 0(\text{mod}\;g_1)$，所以$\text{rank}(\text{ker}(f_1))\gt 0$，即$\text{rank}(f_1)\lt e$。(秩-零化度定理)

给定$R_g$上的一组基比如多项式基$\{1,x,...,x^{e-1}\}$，则$f_1$在这组基上的表示矩阵为$M$

注意：交换环上矩阵不满秩与矩阵不可逆不等价，应该是矩阵可逆一定满秩，满秩不一定可逆，不满秩一定不可逆，不可逆不一定不满秩。这是因为矩阵可逆等价于行列式是单位元即乘法可逆元。0一定是非单位元。

如果$\mathcal{R}$是整环，则$f$和$g$有公因子的必要条件是$\text{Res}(f,g)=0$。

如果$\mathcal{R}$是唯一分解整环即UFD，则$f$和$g$有公因子当且仅当$\text{Res}(f,g)=0$。