SIMD不等式
$$ \mathbf{a}=(a_0,a_1,...,a_{n-1}),\mathbf{b}=(b_0,b_1,...,b_{n-1})\\ \mathbf{a}+\mathbf{b} = (a_0+b_0,a_1+b_1,...,a_{n-1}+b_{n-1})\\ \mathbf{a}\circ\mathbf{b} = (a_0\times b_0,a_1\times b_1,...,a_{n-1}\times b_{n-1})\\ \Vert c\circ\mathbf{a}\Vert=c\times\Vert\mathbf{a}\Vert\\ \Vert\mathbf{a}+\mathbf{b}\Vert \leq \Vert\mathbf{a}\Vert+ \Vert\mathbf{b}\Vert\\ \Vert\mathbf{a}\circ\mathbf{b}\Vert \leq \Vert\mathbf{a}\Vert\times \Vert\mathbf{b}\Vert\\ $$嵌入不等式
在n维向量和n个系数的多项式之间存在同构关系$\sigma$，不妨设$a(x)=\Sigma a_iX^i$，满足：
$$ \sigma(a(x)+_{\sigma}b(x))=\sigma(a(x))+\sigma(b(x))\\ \sigma(a(x)\cdot_{\sigma}b(x))=\sigma(a(x))\circ\sigma(b(x)) $$则
$$ \Vert\sigma(c\cdot a(x))\Vert = \Vert c\circ \sigma(a(x))\Vert =c\times \Vert\sigma(a(x))\Vert\\ \Vert\sigma(a(x)+_{\sigma}b(x))\Vert \leq \Vert\sigma(a(x))\Vert + \Vert\sigma(b(x))\Vert\\ \Vert\sigma(a(x)\cdot_{\sigma}b(x))\Vert \leq \Vert\sigma(a(x))\Vert \times \Vert\sigma(b(x))\Vert\\ $$利用这个嵌入不等式就可以很好的分析同态噪声的变化情况，因为密文就是以多项式形式存在，而明文是向量。
赫尔德(Holder)不等式
已知$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,1\leq p\leq+\infty,1\leq q\leq+\infty $，对于任意两个复数向量$\mathbf{a},\mathbf{b}\in \mathbb{C}^n$，有
$$ \left|\sum_{i=0}^{n-1}a_i\bar{b}_i\right|\leq \sum_{i=0}^{n-1} \left|a_i\right|\left|b_i\right|\leq\Vert\mathbf{a}\Vert_p\Vert\mathbf{b}\Vert_q $$特别的，当p=1时有，$\left|\sum_{i=0}^{n-1}a_i\bar{b}_i\right|\leq \sum_{i=0}^{n-1} \left|a_i\right|\left|b_i\right|\leq\Vert\mathbf{a}\Vert_1\Vert\mathbf{b}\Vert_{\infty}$
矩阵-向量不等式
对于任意矩阵$\mathbf{M}\in \mathbb{C}^{n\times n}$，任意向量$\mathbf{a}\in\mathbb{R}^n$，令$\mathbf{b}=\mathbf{M}\mathbf{a}$，则
$$ b_i=\mathbf{M}_i\mathbf{a}=\sum_{j=0}^{n-1}M_{i,j}a_j\\ a_j\in \mathbb{R},\bar{a}_j = a_j\\ \left|b_i\right| = \left|\sum_{j=0}^{n-1}M_{i,j}a_j\right|=\left|\sum_{j=0}^{n-1}M_{i,j}\bar{a}_j\right|\leq \Vert\mathbf{M}_i\Vert_p\Vert\mathbf{a}\Vert_q\\ \Vert \mathbf{b}\Vert_\infty\leq \text{max}_{0\leq i\leq n-1}\{{\Vert\mathbf{M}_i\Vert_p}\}\Vert\mathbf{a}\Vert_q $$不妨设$\mathbf{M}$可逆，则$\mathbf{a}=\mathbf{M}^{-1}\mathbf{b}$，
$$\Vert \mathbf{a}\Vert_\infty\leq \text{max}_{0\leq i\leq n-1}\{{\Vert\mathbf{M}^{-1}_i\Vert_p}\}\Vert\mathbf{b}\Vert_q$$综合可得，
$$ \frac{\Vert \mathbf{a}\Vert_\infty}{\text{max}_{0\leq i\leq n-1}\{{\Vert\mathbf{M}^{-1}_i\Vert_1}\}}\leq\Vert \mathbf{b}\Vert_\infty\leq \text{max}_{0\leq i\leq n-1}\{{\Vert\mathbf{M}_i\Vert_p}\}\Vert\mathbf{a}\Vert_q $$快速傅里叶变换不等式
FFT里面的矩阵满足
$\text{max}_{0\leq i\leq n-1}\{{\Vert\mathbf{M}_i\Vert_\infty}\}=1$
$\text{max}_{0\leq i\leq n-1}\{{\Vert\mathbf{M}_i\Vert_1}\}=n$
所以有
$$ \frac{\Vert \mathbf{a}\Vert_\infty}{\text{max}_{0\leq i\leq n-1}\{{\Vert\mathbf{M}^{-1}_i\Vert_1}\}}\leq\Vert \mathbf{b}\Vert_\infty\leq\Vert\mathbf{a}\Vert_1\leq n\Vert\mathbf{a}\Vert_{\infty} $$事实上，$\text{max}_{0\leq i\leq n-1}\{{\Vert\mathbf{M}^{-1}_i\Vert_1}\}=1$，所以
$$ \Vert \mathbf{a}\Vert_\infty\leq\Vert \mathbf{b}\Vert_\infty \leq n\Vert\mathbf{a}\Vert_\infty $$这样就使用$\mathbf{a}$来约束$\mathbf{b}$的无穷范数上下界了。
快速傅里叶嵌入不等式
如果用快速傅里叶变换作为嵌入同构关系，则
$$ \Vert a(x)\Vert_\infty \leq \Vert\sigma(a(x))\Vert_\infty \leq \Vert a(x)\Vert_1\leq n\Vert a(x)\Vert_\infty $$进一步，有
$$ \Vert a(x)\cdot_\sigma b(x)\Vert_\infty \leq \Vert \sigma(a(x)\cdot_\sigma b(x))\Vert_\infty \leq \Vert\sigma(a(x))\Vert_\infty \times \Vert\sigma(b(x))\Vert_\infty \leq \Vert a(x)\Vert_1 \times \Vert b(x)\Vert_1 \leq n^2\Vert a(x)\Vert_\infty \Vert b(x)\Vert_\infty $$注意$\Vert a(x)\cdot_\sigma b(x)\Vert_\infty \leq n^2\Vert a(x)\Vert_\infty \Vert b(x)\Vert_\infty$这个界不是紧的，应该是
$$ \Vert a(x)\cdot_\sigma b(x)\Vert_\infty \leq \Vert a(x)\Vert_2 \Vert b(x)\Vert_2\leq n \Vert a(x)\Vert_\infty \Vert b(x)\Vert_\infty $$为什么会出现不紧的界？这是因为虽然不等号具有传递性，但是取得等号的条件不具备传递性，即不同时取得等号。
实际应用中我们建议使用下面的不等式
$$ \Vert \sigma(a(x)\cdot_\sigma b(x))\Vert_\infty \leq n^2\Vert a(x)\Vert_\infty \Vert b(x)\Vert_\infty\\ \Vert \sigma(a(x)+ b(x))\Vert_\infty \leq n(\Vert a(x)\Vert_\infty +\Vert b(x)\Vert_\infty) $$